Лекция 2. Основные свойства вероятности

1. Аксиоматические свойства

Определение 1.   Если P(A) = 1, но A не равно Ω, то говорят, что событие A в опыте G происходит почти наверное (п.н.).

Определение 2.   Если P(A) = 0, то говорят, что событие A почти никогда не происходит в опыте G.

С в о й с т в а   P(A) :

1)   Пусть P(A) = 1. По аксиоме A2: P(Ω) = 1, но из этого не следует, что A = Ω (т.е. что A является достоверным событием).

2)   P(Ж) = 0, т.е. вероятность невозможного события равна нулю. Во-первых, Ж О Б , поскольку σ-алгебре Б  принадлежит само событие Ω и его дополнение

Ω

Δ =

Ω \ Ω = Ж.

Во вторых, Ω + Ж = Ω. Поэтому, с одной стороны,

P(Ω+Ж) = P(Ω)

A2  =

1 ,

с другой стороны:

P(Ω+Ж) =

|

Ω • Ж = Ж, т.к. события Ω и Ж несовместны

|

A3  =

P(Ω) + P(Ж)

A2  =

1 + P(Ж).

Откуда следует, что P(Ж) = 0.

3)   Пусть P(A) = 0. По свойству 2)P имеем P(Ж) = 0, но из этого не следует, что A = Ж, т.е. событие A не обязательно является невозможным.

4)   Если A М B, то P(A) ≤ P(B), т.е. вероятность монотонна. Представим множество B как B = A+B \A (см.  рис. 1).

По построению, A(B\A) = Ж, следовательно, события A и B\A несовместны. Поэтому по аксиомам А3 и А1 имеем P(B) = P(A) + P(B\A) ≥ P(A).

5)   P(A) ≤ 1 для любого A М Б . Так как A М Ω, то из свойства 4)P следует

P(A) ≤ P(Ω)

A2  =

1 .

6)   P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB) для любых A, B О Б. Представим A в виде A = A\B + AB. Очевидно, (A\B)(AB) = Ж. Тогда по аксиоме А3: P(A) = P(A\B) + P(AB), откуда

Аналогичным образом поступим с событием A+B. Имеем A+B = B+A\B, причём B(A\B) = Ж. Тогда из аксиомы А3 следует

Подставляя в данное выражение формулу для P(A\B), получаем требуемое выражение.

7)   P(A+B) ≤ P(A) + P(B). Из аксиомы А1 следует, что P(AB) ≥ 0, поэтому по свойству 6)P получаем

P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB) ≤ P(A) + P(B).

Замечание 1.   Используя свойство 7)P, по индукции можно получить неравенство

P(

n ∑ i=1

Ai) ≤

n ∑ i=1

P(Ai) ,

которое превращается в равенство

P(

n ∑ i=1

Ai) =

n ∑ i=1

P(Ai) ,

если события A₁, ..., A_n несовместны (см. замечание Л3.Р2.З3).

8)   Пусть события A и B несовместны, т.е. AB = Ж. Тогда верно P(C(A+B)) = P(CA) + P(CB). По предположению имеем (CA)(CB) = Ж, так как AB = Ж. И, кроме того, по свойству событий 10)А имеем C(A+B) = CA + CB. Следовательно, по аксиоме А3 получаем (см. рис. 2)

P(C(A+B)) = P(CA + CB) = P(CA) + P(CB).

2. Свойства вероятности для полной группы событий

Определение 1.   События H₁, ..., H_n в опыте G образуют полную группу несовместных событий, если они попарно несовместны (H_iH_j = Ж при i ≠ j) и в результате опыта произойдёт хотя бы одно из событий H_i, i = 1,n, т.е. H₁+ ... + H_n = Ω. При этом события H₁, ..., H_n, имеющие положительные вероятности, называются гипотезами.

С в о й с т в а   P(A) (продолжение) :

9)   Если события H₁, ..., H_n образуют полную группу, то

Данное свойство непосредственно вытекает из определения 1 и аксиом А3 и А2.

10)   P(A) = 1 - P(A). По определению A = Ω\A, поэтому AA = Ж. По свойству 12)А: A + A = Ω, т.е. события A и A образуют полную группу. Следовательно, по свойству 9)P: P(A+A) = 1. Так как A и A несовместны, то по аксиоме А3 имеем: 1 = P(A+A) = P(A) + P(A), откуда следует искомая формула.

Пример 1.   Пусть выстрел по цели производится случайным образом, а события A и A соответствуют попаданию и промаху. Если известна вероятность попадания P(A) = p, где 0 ≤ p ≤ 1 , то вероятность промаха, т.е. события A, можно найти по свойству 10) P:

11)   P(A+B) = 1 - P(A•B). По свойству 11)A имеем A+B = A•B. Поэтому из свойства 10)P следует P(A+B) = 1- P(A+B) = 1 - P(A•B).

12)   P(AB) = 1 - P(A+B). Это следует из свойства 11)P, если вместо событий A и B рассматреть соответственно события A и B и использовать свойство событий 12)A:

13)   Если опыт G сводится к схеме случаев, то P(ω_i) = p = 1/n,   i = 1,n. Действительно, так как события ω₁, ..., ω_n несовместны, то

Определение 3.   Рассмотрим в опыте G, сводящимся к схеме случаев, произвольное событие A, которое можно представить в виде суммы m случаев , т.е.

A = ωi

1

+ ... + ωi

m

,

при m ≤ n. Тогда такие слагаемые

ωi

1

, ... , ωi

m

называют случаями, благоприятствующими событию A .

14)   Если событие представимо в виде суммы m благоприятствующих случаев из общего числа n случаев, то вероятность такого события находится по классической формуле вычисления вероятности P(A) = m / n. Действительно,

Пример 2.   Опыт состоит в бросании игральной кости. Требуется найти вероятность выпадения четной грани (события A). В данном случае опыт сводится к схеме случаев, в качестве которых можно взять все элементарные события ω_i, i = 1,n. Тогда n = 6, а m = 3, поскольку A = ω₂+ ω₄+ ω₆. Таким образом, P(A) = 1/2.

15)   Рассмотрим опыт G, сводящийся к схеме случаев, и предположим, что событиям A, B, AB благоприятствуют соответственно m_A, m_B > 0, m_AB случаев из всех n возможных. Допустим, событие B уже произошло. Это означает, что из всех возможных n случаев реально могло появиться только m_B случаев, причём из них только m_AB случаев благоприятствуют событию A. Тогда P(A|B) = m_AB / m_B. Действительно получаем:

16)   P(AB) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B). Данная формула следует из определения 4 и свойства 9)А коммутативности операции умножения событий: AB = BA. Действительно,

Лекция 3.
Оглавление